Задачі на стратегії

Курс за вибором, 8 клас
У математиці іграми на стратегію вважають ігри, в яких беруть участь двоє гравців, ходи роблять по черзі, пропускати хід не можна. 

Завжди відомо, у чому полягає заключна виграшна позиція і виграє той з гравців, після чийого ходу ця позиція досягається.

Універсальним методом для пошуку виграшної стратегії є аналіз гри "з кінця".

Прилад

На столі маємо 23 цукерки. Кожен з двох гравців за один хід може взяти будь-яку кількість цукерок від 1 до 4. Виграє той, хто забере останню цукерку. У кого з гравців виграшна стратегія і в чому вона полягає?

Розв'язання

Нехай гравець, який бере цукерки першим - це перший гравець, а той, що бере цукерки другим - другий гравець. Якщо проаналізувати задачу з кінця, то виграє той, який залишить супернику п'ять цукерок в кінці. Тому що скільки б цукерок не взяв супротивник із тих, що залишились від 1 до 4, інший забере всі інші і переможе!

Чи можна, розпочавши гру першим,  робити відповідні ходи так, щоб в кінці залишити супернику п'ять цукерок.

Для цього першому гравцеві потрібно виходити на номери, які кратні числу п'ять, це і забезпечить йому перемогу. ТОЖ, якщо перший гравець візьме ТРИ цукерки, то  другому гравцеві залишиться 20 цукерок. Коли  другий гравець візьме від 1 до 4 цукерок, перший  у відповідь залишить 15 цукерок і т.д.

Відповідь: виграшна стратегія у першого гравця. Йому треба взяти спочатку 3 цукерки, а потім брати стільки цукерок, щоб кількість тих, що залишилась,  була кратною числу 5.

Задача для самостійного розв'язання:

У коробці лежать 60 сірників. За один хід можна взяти від 1 до 5 сірників. Програє той, хто не зможе зробити хід. Як грати, щоб виграти і хто з гравців, перший чи другий, має виграшну стратегію.