Принцип Діріхле і геометричні задачі

Розв'язуємо логічні задачі. Курс за вибором для учнів 7 класу.

Принцип✲ Діріхле виглядає так: Якщо у n клітинках розмістили n+1 кролів, то хоча б у одній з них сидить не менше двох кролів. Це найпоширеніше формулювання принципу Діріхле. Цей принцип сам німецький математик ХІХ ст. Петер Густав Лежен Діріхле  у своїх наукових дослідженнях формулював так:"Якщо в n шухлядах не менше ніж n+1 предметів, то, висуваючи ці шухляди, ми принаймі в одній з них виявимо  не менше ніж два предмети".
 З Вікіпедії: принцип Діріхле - це комбінаторне твердження. 

Можна цей принцип сформулювати так: 

Припустимо, що деяке число кроликів розсаджені в клітках. Якщо число кроликів більше ніж число кліток, то хоча б в одній з кліток буде більше ніж один кролик.

Приклади задач, для яких зручно використовувати цей принцип:
1) Шість школярів з'їли сім цукерок. Доведіть, що один з них з'їв не менше двох цукерок. 
2) У школі 752 учні. Доведіть, що хоча б троє з них народилися в один і той самий день.
3) У крамницю завезли 25 ящиків цукерок трьох сортів ( у кожному ящику - цукерки лише одного сорту). Доведіть, що серед них є хоча б 9 ящиків із цукерками одного сорту.


Розв'яжемо задачу: 

"На кожній клітинці дошки розміром 5×5 сидить жук. За командою жуки переповзають на сусідні клітинки (клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону). Доведіть, що після того як всі жуки переповзуть до сусідніх клітинок, то знайдеться клітинка, у якій сидітимуть два жуки". 

Доведення

Кількість клітинок і кількість жуків однакова, то принцип Діріхле застосовувати не можна. Пофарбуємо клітинки  і жуків, які в них сидять, за правилом шахової дошки. Тоді  дошка, розміром 5×5 матиме 25 клітинок, із них нехай 13 чорних, а 12 білих. Сусідні клітинки із чорними -це білі. Тобто. Жорні жуки переповзуть у білі клітинки, а білі - у чорні. Оскільки чорних жуків 13, а клітинок білих - 12. То за принципом Діріхле знайдеться біла клітинка, у якій сидітимуть два чорних жуки. Що й треба було довести.

Принцип Діріхле у геометричних задачах

Задача
Усередині рівностороннього трикутника зі стороною 1  розміщено 5 точок. Довести, що відстань між деякими двома менше 0,5.
Доведення

Проведемо у трикутнику середні лінії. Вони розіб'ють трикутник на чотири рівносторонні трикутники зі стороною 0,5. Назвемо їх "Клітками", а точки - "зайцями".  Тоді кліток 4, а зайців - 5 і у  будь-якому випадку в одній клітці опиниться два зайці (точки). Існує твердження про довжину відрізка, який розташований всередині трикутника: Довжина відрізка, розташованого усередині трикутника менша за довжину найбільшої його сторони. Тобто існують дві точки відстань між якими менша 0,5. Це відстань між точками, які лежать усередині одного маленького трикутника. Твердження доведено.

Завдання для самостійного розв'язання

Усередині квадрата зі стороною 10 см відмічено 101 точку (жодні три не лежать на одній прямій). Доведіть, що серед цих точок є три, які утворюють трикутник, площа якого не перевищує 1 см². 

✲ Принцип - це правило, закон, важливе вихідне положення.